Zdjęcie z ekranu oscyloskopu pokazujące zależność wartości napięcia prądu elektrycznego od czasu (zmianę napięcia w czasie).
Zmienność napięcia w czasie opisuje funkcja sinus.
Pojęcie funkcji
Co to jest funkcja?
Dla wielu osób zaprzyjaźnionych z matematyką to pytanie może wydawać się wręcz dziwne.
Ale moje zaprzyjaźnione licealistki powiedziały mi, że choć one rozumieją pojęcie funkcji, to nie dla wszystkich, nawet licealistów, jest ono jasne. Spróbuję je więc wyjaśnić w mój autorski sposób. Autorski, ponieważ nie znalazłem nigdzie takiego podejścia do tłumaczenia, a wg "moich" licealistek może ono pomóc w zrozumieniu tego kluczowego dla matematyki pojęcia.
Samo słowo funkcja jest wieloznaczne i najczęściej wiazane jest z synopnimami takimi jak rola, stanowisko, zadanie jakie ktoś spełnia.
Matematycy określają funkcję jako "przyporządkowanie elementom pewnego zbioru elementów innego lub tego samego zbioru". I choć wydaje się to proste, to nie dla wszystkich musi być zrozumiałe. Odwołuje się bowiem do innego ważnego pojęcia, a mianowicie do pojęcia zbioru. Dodatkowo elementy przyporządkowane mogą należeć do innego lub do tego samego zbioru. Zanim rozjaśnię to określenie zaproponuję moje podejście.
Otóż pomyślmy, że wzór wyrażajacy funkcję np.
1.) y = x lub
2.) y = x2 lub
3.) y = 2x
wyraża zależność, czyli to w jaki sposób wartość y zależy od wartości x.
W przypadku 1.) jeśli x = 5 to y także równa się 5.
W przypadku 2.) jesli x = 3 to y = x*x czyli 3 * 3 czyli 9.
W przypadku 3.) jeśli x = 4 to y = 24 czyli y = 2 * 2 * 2 * 2 = 16
Dla porządku muszę dodać, że rozumienie funkcji jako zależności jest tylko trochę zawężone w porównaniu z rozumieniem jako przyporządkowanie, ale chyba bardziej intuicyjne.
I na teraz nam wystarczy.
Funkcja / zależność liniowa y = x
Funkcja / zależność liniowa
Funkcją liniową nazywamy wszystkie funkcje typu y = a * x oraz y = a * x + b gdzie a, b są dowolnymi liczbami.
Funkcja / zależność kwadratowa y = x2
Funkcja / zależność kwadratowa
Funkcja kwadratowa y = x2
Funkcją kwadratową nazywamy wszystkie funkcje typu y = a*x2 + b*x + c gdzie a, b, c są dowolnymi liczbami.
Czyli oczywiście także y = a*x2 albo y = a*x2 + b albo y = a*x2 + b*x
Równania te możemy oczywiście (pomijając znak mnożenia) zapisać w postaci:
y = ax2 + bx + c y = ax2 albo y = ax2 + b albo y = ax2 + bx
rys. 3 Funkcja / zależność logarytmiczna y = log2x
Funkcja / zależność logarytmiczna
Spójrz na ciąg liczb 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ... wiesz jakie liczby powinny być dalszej kolejności?
A ciągu liczb: 10, 100, 1 000, 10 000, 100 000, ... jakie liczby powinny być dalej?
Zapewne dostrzegasz, że w pierwszym ciągu liczb mamy kolejne potęgi liczby 2, a w drugim kolejne potęgi liczby 10. Dostrzegasz pewną zależność pomiędzy liczbą 2 i kolejnymi w pierwszym ciągu oraz 10 i kolejnymi w drugim.
A jak będzie w przypadku liczb 3, 9, 27, 81, 243, … ??
Jeśli dostrzegasz zależności występujące w pierwszym ciągu liczb, to możesz zadać sobie pytanie:
do jakiej potęgi trzeba podnieś liczbę 2 żeby otrzymać 8?
A dalej ... do jakiej potęgi podnieść liczbę 10 żeby otrzymać 100?
I dalej ... do jakiej potęgi podniesiemy liczbę 3 żeby otrzymać 81?
Zależności pomiędzy liczbami, w tym przypadku pomiędzy liczbami: 2 i 8 oraz 10 i 10 000 albo 3 i 81 można zapisać w następujący sposób:
log28 = 3 Zapis log28 można odczytać następująco: do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 2, aby otrzymać 8? Odpowiedź - do potęgi 3
log10100 = 2 Zapis log10100 można odczytać następująco: do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 10, aby otrzymać 100? Odpowiedź do potęgi 2
log381 = 4 Zapis log381 można odczytać następująco: do jakiej potęgi należy podnieść 3, aby otrzymać 81? Odpowiedź do potęgi 4
Zapis log oznacza zależność pomiędzy liczbami zapisanymi jako indeks dolny – odpowiednio 2, 10 i 3, a liczbą zapisaną dalej (odpowiednio: 8, 100 i 81), która jest „jakąś” potęgą liczby zapisanej jako indeks dolny.
Tego rodzaju zależności w matematyce nazywamy funkcjami. A ta zależność nazywa się funkcją logarytmiczną – log to skrót od nazwy logarytmiczna.
Zapisujemy ją następująco: y = logax
Liczbę zapisaną jako indeks dolny czyli a nazywamy podstawą logarytmu, natomiast liczbę x – nazywamy liczbą logarytmowaną, y to wynik logarytmowania – odpowiedź na pytanie do jakiej potęgi należy podnieść a aby otrzymać x
Skoro dostrzegłaś/eś zależności pomiędzy liczbami, o które pytałem na początku i prawidłowo odpowiedziałeś/aś na moje pytanie to znaczy, że rozumiesz pojęcie potęgowania i pojęcie funkcji potęgowej y = xn. (x do potęgi n).
Łatwo Ci będzie więc zrozumieć tzw. funkcję wykładniczą y = ax którą jako przykład podałem na początku tego artykułu.
Łatwo zauważysz, że funkcja logarytmiczna jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej.
Na rys. 3 widzisz wykres funkcji logarytmicznej y = log2x
Możesz z niego odczytać, że dla x = 1 y = 2, dla x = 2 y = 4, dla x = 8 y = 3
Zauważ, że aby otrzymać liczbę logarytmowaną x = 1 należy podnieść liczbę 2 do potęgi 0 log21 = 0
Otóż każda liczba podniesiona do potęgi 0 równa się 1
czyli jeśli w równaniu y = ax x = 0 to a0 = 1
to w przypadku logarytmów odpowiedź na pytanie do jakiej potęgi należy podnieść (dowolną) liczbę w podstawie logarytmu, aby otrzymać 1 odpowiedź brzmi 0
czyli np. log101 = 0 oraz log31 = 0
Jeśli rozumiesz tą zależność to znaczy, że możesz sobie powiedzieć TerazRozumiem pojęcie logarytmu.
Zadanie na podsumowanie
Narysuj trójkąt prostokątny i oznacz jego boki przyprostokątne jako a i b oraz bok naprzeciwko kąta prostego (przeciwprostokątny) jako c.
Kąt ostry naprzeciwko boku a (czyli kąt pomiędzy bokami b i c) oznacz jako α (alfa).
Zależność wyrażoną ilorazem długości boku a (leżącego naprzeciw kąta α) do długości przeciwprostokątnej c nazywamy sinusem kąta α
co zapisujemy jako sinα = a/c
Jest to definicja funkcji sinus kąta α
Zależność wyrażaną ilorazem długości przyprostokątnej b (która przylega do kąta α) do długości przeciwprostokątnej c nazywamy cosinusem kąta α, co zapisujemy cosα = b/c
Jest to definicja funkcji cosinus kąta α
Ćwiczonko dla wprawy
Narysuj wykresy funkcji liniowych np. y = 2x + 3 oraz y = 1/2 * x
Jeśli masz pytanie to napisz, a ja spróbuję Ci pomóc
Jeśli cokolwiek jest dla Ciebie nie do końca zrozumiałe to bardzo proszę napisz mi z czym jest kłopot i co należałoby dodatkowo wyjaśnić. Możesz także zadzwonić do mnie w godzinach konsultacji. Ale najpierw napisz z czym masz problem, i że ew. chcesz zadzwonić.
tel.: 505 377 726 e-mail: kontakt@terazrozumiem.pl
NOTA PRAWNA: Zgodnie z art. 25 ust. 1 pkt 1 b) Ustawy o prawach autorskich i prawach pokrewnych (z 4 lutego 1994 r, z późn. zmianami) zastrzegam, że wszystkie materiały zamieszczone na terazrozumiem.pl są objęte prawami autorskimi, a ich dalsze rozpowszechnianie bez mojej zgody jest zabronione